運動方程式 エネルギー保存則 使い分け 7


【物理】単振動(ばね運動)【力学】 WordPress Luxeritas Theme is provided by "Thought is free". ここではエネルギー保存則から出発 して, 流体の熱のやりとりの仕方を表わす式— 熱輸送の式— を導く. h …, 前回までは位置・速度・加速度について学びました。
しかし実際にはばねにおもりをつけて振動させると、 …. 今回は運動方程式から「力学的エネルギー保存則」を導いていきます。 前回は運動量保存則について解説しました。今回の力学的エネルギー保存則は、運動量保存則に引き続き第2の保存則となります。 やまとどうも、やまとです。前回、運動量と力積という新しい量を定義し、その関係式を運動方程式から導きました。ここでは、2物体の衝突について運動量と力積の関係式を立て、新たに”運動量保存則”を導いていきましょう。やまと物体aが物体bを追いかけ、

大学等で物理数学を学ぶときはdivの …, 前回はばねにつながれたおもりの運動による単振動について考えました。 JSciencer, という特徴があります。わたしたちの日常でいえば、高速道路を走るトラックはかなりの運動エネルギーをもっているということができます。. 難関大を目指すなら、絶対に読んで欲しい「新・物理入門」。 僕は受験当時この本を読んで、物理学の本 ... 受験は情報戦といっても過言ではありません。必要な情報がなければ、どのように学習を進めたら良いか分からないのは当然です。, いまなら無料で情報冊子がz会などからもらえるので、早いうちから情報を得て対策を立てましょう!!. 摩擦、抵抗なし→力学的エネルギー保存則 物体系に働く外力(の和)=0→運動量保存則 です。 衝突や分裂は先程説明した理由で運動量保存則で解かなければいけません。 (とえらそうに書いたのですが不安なのでほかの方からの解説も参考にしてみてください) Copyright © 2020 勉強の公式 All Rights Reserved. 力学的エネルギー保存則は物理で最も重要な概念のひとつです。力学的エネルギーが保存される場合と保存されない場合とを説明し、例題を掲げて解法について説明しています。 前回は運動量保存則について解説しました。今回の力学的エネルギー保存則は、運動量保存則に引き続き第2の保存則となります。, 3次元空間において、力$\boldsymbol{F}$を受けながら微小な距離$d\boldsymbol{r}$だけ移動したときの仕事$dW$は力と変位の内積, \begin{eqnarray}dW=\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}\tag{1}\end{eqnarray}, で与えられます。$dW$は微小な距離$d\boldsymbol{r}$の間の仕事ですが、質点が力$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$を受けながら点Aから点Bまで移動する間の仕事$W$は、点Aから点Bまで移動する経路を$\rm{C}$とすると、経路$\rm{C}$の各微小区間の仕事の総和で与えられるので、, \begin{eqnarray}W=\int_{\rm{C}}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\cdot d\boldsymbol{r}\tag{2}\end{eqnarray}, となります。このように2点をつなぐ経路にそった積分のことを線積分といいます。一般に、線積分は経路の選択に依存します。つまり上式でいうならば仕事$W$は経路$\rm{C}$に依存します。ただし、力$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$が保存力の場合には仕事$W$が経路$\rm{C}$によりません。つまり力$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$が保存力の場合、仕事$W$は経路によらず点Aと点Bにおける運動によって決まり、, \begin{eqnarray}W=\int_{\boldsymbol{r}_A}^{\boldsymbol{r}_B}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\cdot d\boldsymbol{r}\tag{3}\end{eqnarray}, となります。$\boldsymbol{r}_A$、$\boldsymbol{r}_B$は点A、Bの位置を表します。, 質点の軌道上に点Aと点Bをとり、AB間の運動について考えます。質点が点A,Bにあるときの時刻を$t_A,t_B$とします。運動方程式$m\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}=\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$の両辺に速度$\boldsymbol{v}$の内積をとり、時刻$t_A\sim t_B$まで積分すると、, \begin{eqnarray}\int_{t_A}^{t_B} m\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}\cdot\boldsymbol{v}dt=\int_{t_A}^{t_B} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\cdot\boldsymbol{v}dt\tag{4}\end{eqnarray}, \begin{eqnarray}\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\boldsymbol{v}^2\right)&=&\frac{m}{2}\frac{d}{dt}\left(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v}\right)\nonumber\\&=&\frac{m}{2}\left(\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}\cdot\boldsymbol{v}+\boldsymbol{v}\cdot\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}\right)\nonumber\\&=&m\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}\cdot\boldsymbol{v}\tag{5}\end{eqnarray}, \begin{eqnarray}\int_{t_A}^{t_B} m\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}\cdot\boldsymbol{v}dt&=&\int_{t_A}^{t_B} \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\boldsymbol{v}^2\right)dt\nonumber\\&=&\frac{1}{2}m\boldsymbol{v}_B^2-\frac{1}{2}m\boldsymbol{v}_A^2\tag{6}\end{eqnarray}, となります。ただし$\boldsymbol{v}_A,\boldsymbol{v}_B$は、点A,Bの速度となります。また、式(4)の右辺は、, \begin{eqnarray}\int_{t_A}^{t_B} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\cdot\boldsymbol{v}dt&=&\int_{t_A}^{t_B} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt\nonumber\\&=&\int_{\boldsymbol{r}_A}^{\boldsymbol{r}_B} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\cdot d\boldsymbol{r}\tag{7}\end{eqnarray}, となります。ただし$\boldsymbol{r}_A,\boldsymbol{r}_B$は、点A,Bの位置となります。以上より式(4)は、, \begin{eqnarray}\frac{1}{2}m\boldsymbol{v}_B^2-\frac{1}{2}m\boldsymbol{v}_A^2=\int_{\boldsymbol{r}_A}^{\boldsymbol{r}_B} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\cdot d\boldsymbol{r}\tag{8}\end{eqnarray}, と書き換えられます。式(8)の右辺は点A,Bの$\frac{1}{2}mv^2$という量の変化量を表しています。式(8)の右辺は力$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$を受けながら点Aから点Bまで移動する間の仕事を表しています。ここで、, \begin{eqnarray}K=\frac{1}{2}mv^2\tag{9}\end{eqnarray}, \begin{eqnarray}K_B-K_A&=&\int_{\boldsymbol{r}_A}^{\boldsymbol{r}_B} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\cdot d\boldsymbol{r}\tag{10}\end{eqnarray}, と表されます。この式は、質点が点Aから点Bまで運動する間の運動エネルギーの増加量は質点にはたらく力がする仕事に等しいことを示しています。, 保存力$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$に対して任意の基準点$\boldsymbol{r}_0$を定め、他の任意の点を$\boldsymbol{r}$とすると、, \begin{eqnarray}U(\boldsymbol{r})=-\int_{\boldsymbol{r}_0}^{\boldsymbol{r}}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\cdot d\boldsymbol{r}\tag{11}\end{eqnarray}, と定義し、これを$\boldsymbol{r}_0$を基準にしたときのポテンシャルエネルギーといいます。質点が点Aと点Bにあるときのポテンシャルエネルギーの差は、, \begin{eqnarray}U(\boldsymbol{r}_B)-U(\boldsymbol{r}_A)&=&-\int_{\boldsymbol{r}_0}^{\boldsymbol{r_B}}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\cdot d\boldsymbol{r}-\left(-\int_{\boldsymbol{r}_0}^{\boldsymbol{r_A}}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\cdot d\boldsymbol{r}\right)\nonumber\\&=&-\int_{\boldsymbol{r}_A}^{\boldsymbol{r_B}}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\cdot d\boldsymbol{r}\tag{12}\end{eqnarray}, と表されます。この式は、点Aと点Bのポテンシャルエネルギーの差は、負号をつけた質点にはたらく力がする仕事に等しいことを示しています。ポテンシャルエネルギーの差は基準点$\boldsymbol{r}_0$によらず決まるので、基準点$\boldsymbol{r}_0$は任意に決めても問題ありません。通常は式がシンプルになるように定めます。, 質点が保存力$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$を受けながら点Aから点Bに移動するとき、ここまで求めてきた、仕事と運動エネルギーの関係式(式(10))、仕事とポテンシャルエネルギーの関係式(式(12))、, \begin{eqnarray}K_B-K_A&=\int_{\boldsymbol{r}_A}^{\boldsymbol{r}_B} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\cdot d\boldsymbol{r}\tag{10}\\U(\boldsymbol{r}_B)-U(\boldsymbol{r}_A)&=-\int_{\boldsymbol{r}_A}^{\boldsymbol{r_B}}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\cdot d\boldsymbol{r}\tag{12}\end{eqnarray}, \begin{eqnarray}K_B-K_A=-U(\boldsymbol{r}_B)+U(\boldsymbol{r}_A)\tag{13}\end{eqnarray}, となります。ここで、点Aに関する量を左辺、点Bに関する量を右辺に移項して整理すると、, \begin{eqnarray}K_A+U(\boldsymbol{r}_A)=K_B+U(\boldsymbol{r}_B)\tag{14}\end{eqnarray}, \begin{eqnarray}E=K+U(\boldsymbol{r})=\frac{1}{2}mv^2+U(\boldsymbol{r})\tag{15}\end{eqnarray}, と定義すると、$E$は力学的エネルギーと呼ばれ、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和を示します。定義式(15)により、式(14)は、, \begin{eqnarray}E_A=E_B\tag{16}\end{eqnarray}, となり、点Aから点Bに移動しても力学的エネルギー$E$は一定であることがわかります。つまり、保存力のみを受けながら運動する質点の運動において、力学的エネルギーは常に一定であることを表しています。これを力学的エネルギー保存則といいます。, 質点が力$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$を受けながら点Aから点Bまで移動するとき、仕事と運動エネルギー$K$の関係は、, \begin{eqnarray}K_B-K_A&=&\int_{\boldsymbol{r}_A}^{\boldsymbol{r}_B} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\cdot d\boldsymbol{r}\end{eqnarray}, となり、仕事とポテンシャルエネルギー$U(\boldsymbol{r})$の関係は, \begin{eqnarray}U(\boldsymbol{r}_B)-U(\boldsymbol{r}_A)=-\int_{\boldsymbol{r}_A}^{\boldsymbol{r_B}}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\cdot d\boldsymbol{r}\end{eqnarray}, \begin{eqnarray}K_A+U(\boldsymbol{r}_A)=K_B+U(\boldsymbol{r}_B)\end{eqnarray}, が導かれます。運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和は力学的エネルギーとよばれ、$E$で表され、点Aから点Bに移動しても力学的エネルギー$E$は一定であることがわかります。, 旧帝大を修士で卒業後、大手企業で研究職に従事。趣味は投資・読書・科学技術(特に半導体)・物理等々です! 2018年10月ごろから長期インデックス投資を始めました。, 旧帝大を修士で卒業後、大手企業で研究職に従事。
'http':'https';if(!d.getElementById(id)){js=d.createElement(s);js.id=id;js.src=p+'://platform.twitter.com/widgets.js';fjs.parentNode.insertBefore(js,fjs);}}(document, 'script', 'twitter-wjs'); (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Copyright 2015-2020 All rights reserved. 運動エネルギーと位置エネルギーの和は一定であり、このことをエネルギー保存則と呼ぶ; となります。また、重力とバネの位置エネルギーはそれぞれ です。 保存力と位置エネルギーの関係. 趣味は投資・読書・科学技術・物理等々です! 2018年10月ごろから長期インデックス投資を始めました。, 前回は運動法方程式について学び、具体例として自由落下運動と放物運動を用いて運動方程式の解き方について解説しました。 すなわち、力学的エネルギー保存則が証明されました。 証明全体を簡単にまとめましょう。 運動方程式の両辺に\(v\)をかけて、時間に関する積分を取る。すると、左辺からは運動エネルギーの変化分が登場する(そうなるために\(v\)をかけた)。 を質点の運動エネルギーとよび、質点の速度のみに依存する値となっています。運動エネルギーは, ということもわかります。ですから、質点の速さを知りたい場合には有効であることが理解できたかと思います。, が保存していることがわかります。をそれぞれ重力の位置エネルギーと力学的エネルギーといいます。そして、式(3)のことをエネルギー保存則といいます。, が得られます。よって、初期値の速度や位置と現時刻の位置がわかれば、速さを計算できます。, となります。これより、バネによる仕事は経路によりません。よって、バネによる力は保存力です。, となります。この式から、質点が速い速度で長い時間移動ほど空気抵抗は負の仕事をすることがわかります。また、空気抵抗による仕事は経路に依存します。たとえば、地点AからBへ移動するさい、たとえ同じ速度でも距離によって空気抵抗による仕事は異なります。, でナブラと呼ばれる演算子です。ベクトル型の演算子だと考えてください。ナブラを使うと式を簡単にかけて便利です。. 最近は落下運動を題材にして「落下運動・放物運動」「速度に比例する抵抗がある場合の落下運動」「速度の2乗に比例する抵 …, 今回はベクトル解析で学ぶdiv(発散;divergence)について説明していきます。 もしかしたら力学のうち「円運動・単振動」や「惑星運動」などを既に勉強しているかもしれませんが、上の3つの式を組み合わせて問題を解くことが多いです。, この基本となる3つを使いこなせるようになれば、高校力学の多くの問題が解けるようになります。, 分からない問題に出会ったら、これら3つのうちどれが使えるかを考えてみましょう。とりあえずこの3つのなかから何かを立式するだけで、問題が解けてしまうことも珍しくありません。, 運動方程式と、エネルギー保存則・運動量保存則には大きな違いが1つあります。それは、どの時点に注目して式を立てているかです。, 運動方程式は、ある1つの時点における運動の状態を示す式です。その場での加速度や力の関係を表します。, しかし、他の2つはある時点ともう一つの時点の、2つの状態の関係を表す式です。例えば、エネルギー保存則なら落下しはじめのボールと、落下し終わったボールの2つを考えて立式すれば良く、あいだの状態は考える必要はありません。運動量保存則なら、衝突の前と後の2つを考えるだけで済みます。, 問題によっては、ボールの自由落下などのように、運動方程式とエネルギー保存則のどちらでも解ける問題などがあります(実際に両方で解いてみると実感が出ます)。エネルギー保存則ははじめと終わりを考えるだけで良いのですが、運動方程式はある時点での状態しか分からないので、はじめから終わりまでの間の状態も考えなくてはなりません。, このように、式の意味の違いを理解しておくだけで、より簡単な方法で問題を解くことができるようになるのです!, 実は運動方程式を使えば、理論上はエネルギー保存則・運動量保存則は使わなくても、問題が解けます。, つまり、運動方程式さえあれば、物体の運動が全て分かるのです。これを考えてみましょう。, まず、運動方程式である瞬間の加速度が分かります。この時点の時刻を\(t=0\) としましょう。ある瞬間の加速度がわかるなら、そこから一瞬だけ時間が経った時の速度がどれだけ変化したのかもわかります。そうやって、一瞬一瞬の加速度と速度変化を考えていくと、どの時刻\(t\) の速度でも全て分かるようになります。, これで物体の速度は全てわかりました。あとは物体の位置も同様の方法でわかれば、物体の運動が全て分かったことになります。, ある時点での速度が分かるので、その一瞬だけ時間が経った時に位置がどれだけ変化したのかもわかります。同様にして、一瞬ごとの速度と位置変化を考えていくと、どの時刻\(t\) の位置でも分かるようになります。, エネルギー保存則や運動量保存則は、毎回運動方程式を使うと大変なので、よく使う公式として覚えるものでもあるのです。, 運動方程式だけで良いのならば、力学のエネルギー保存則と運動量保存則は何のためにあるのでしょうか? 3つの式の関係性については教科書に書かれていません。詳しいことは大学に入ってから習いますが、難関大学の受験生はみんな知っていることなので、ここで軽く説明しておきましょう。, 結論から言うと、力学のエネルギー保存則と運動量保存則は、運動方程式から導出できるものなのです!, 運動方程式を少し変形して、積分という操作を行うと、力学のエネルギー保存則と運動量保存則を導くことができます。, ここで式だけをお見せしましょう。微積分を習っていない人は、積分で導出できるという事実だけを実感してもらえればいいです。加速度は速度を使って、\(a=\frac{dv}{dt}\)と表せることに注意しましょう。, \begin{eqnarray} m\frac{dv}{dt}=F \\ mv\frac{dv}{dt}=Fv \\ m\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}v^2)=Fv \\ \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^2)=Fv \end{eqnarray}, ここで左辺は運動エネルギーの変化率、右辺は仕事率を表します。これを時間積分すればエネルギー保存則が導びかれます。, \begin{eqnarray} m\frac{dv}{dt}=F \\ \frac{d}{dt}(mv)=F \end{eqnarray}, ここで左辺は運動量の時間変化率、右辺は力を表します。これを時間積分すれば運動量保存則が導かれます。. https://hunikablog.com/2019/12/09/tw …, 今回はばね運動を題材にして単振動について考えていきます。 著者:安井 真人(やすい まさと)@yasui_masatoさんをフォロー !function(d,s,id){var js,fjs=d.getElementsByTagName(s)[0],p=/^http:/.test(d.location)? 1.4 連続体のエネルギー保存則 流体の運動を記述するには, 質量保存則, 運動方程式に加えて, 流体がどのように 熱を受け取るかを記述する式が必要である. 保存力と位置エネルギーの関係について考えます。 運動方程式・運動量保存則・エネルギー保存則の関係 3つの式を制すれば力学マスター! 力学で必要となる基本的な概念のうち、大事なのは特に以下の3つです。 運動方程式 エネルギー保存の法則 運動量保存 …

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